Bài 49 trang 29 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$ab\sqrt{\dfrac{a}{b}};\,\,\, \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\dfrac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}.$

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

Lời giải chi tiết

Theo đề bài các biểu thức đều có nghĩa.

+ Ta có

$ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=ab\sqrt{\dfrac{a.b}{b.b}}=ab\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.$

*) Nếu $b > 0$  thì $|b|=b \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=a\sqrt{ab}$. 

*) Nếu $b < 0$  thì $|b|=-b \Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=-ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=-a\sqrt{ab}$.

+ Ta có:

$\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b.a}{a.a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}$

$=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}$$=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}$$=\dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}$

*) Nếu $a> 0$ thì $|a|=a \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .$

*) Nếu $a<0$ thì  $|a|=-a  \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=-\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=-\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .$

+ Ta có:

$\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b+1}{b^2}}$

                    $=\dfrac{\sqrt{b+1}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}$.

*) Nếu $b> 0$  thì $|b|=b \Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}$.

*) Nếu $-1 \le b < 0$  thì $|b|=-b \Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=-\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}$.

+ Ta có:

$\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}=\sqrt{\dfrac{9}{36}}.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{\dfrac{a^3.b}{b.b}}$

$=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2.ab}{b^2}}$$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$

$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{|b|}=\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}$.

*) Nếu $a \ge 0,\ b > 0$ thì $|a|=a,\ |b| =b \Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}$.

*) Nếu $a < 0,\ b < 0$ thì $|a|=-a,\ |b| =-b \Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}$.

(Chú ý: Theo đề bài $\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}$ có nghĩa nên $a,\ b$ cùng dấu, do đó chỉ cần xét 2 trường hợp $a,\ b$ cùng âm hoặc cùng dương). 

+ Ta có:

$3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}=3xy.\sqrt{\dfrac{2.xy}{xy.xy}}=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{\sqrt{(xy)^2}}$

$=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{|xy|}$ $=\dfrac{3xy.\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}$.

(Vì theo đề bài $\sqrt{\dfrac{2}{xy}}$ có nghĩa nên $\dfrac{2}{xy} > 0 \Leftrightarrow xy > 0 \Rightarrow |xy|=xy$.)