Bài 47 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hàm số f liên tục trên $\left[ {a;b} \right].$ Tỉ số : ${1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$ được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên $\left[ {a;b} \right]$ và được kí hiệu là $m\left( f \right)$. Chứng minh rằng tồn tại điểm $c \in \left[ {a;b} \right]$ sao cho $m\left( f \right) = f\left( c \right)$

Lời giải chi tiết

Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên $\left[ {a;b} \right]$.

Ta có $m \le f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]$
Theo kết quả: $f(x)\ge g(x)$ trên đoạn $[a;b]$ thì $\int\limits_a^b {f(x)} dx \ge \int\limits_a^b {g(x)dx}$

Ta có:

$\eqalign{ & \int\limits_a^b {mdx \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \le \int\limits_a^b {Mdx}\cr &\Rightarrow m\left( {b - a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \le M\left( {b - a} \right)} \cr  & \Rightarrow m \le {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \le M \cr}$

Vì $f$ là hàm liên tục nên tồn tại $c \in \left[ {a;b} \right]$ để $m\le f(c)\le M$ hay $f\left( c \right) = {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.$

Cách khác:

Ta có: $m\left( f \right) = \dfrac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x)

=> F’(x) = f(x) =>F(x) liên tục trên [a; b] có đạo hàm trên (a; b) và thỏa mãn:

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

$\Rightarrow m\left( f \right) = \dfrac{1}{{b - a}}.\left( {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right)$ $= \dfrac{{F\left( b \right) - F\left( a \right)}}{{b - a}}$

Theo định lý Lagrăng thì ∃c ∈(a;b) sao cho

$\dfrac{{F\left( b \right) - F\left( a \right)}}{{b - a}} = F'\left( c \right)$

Vì F' (c)=f(c) => ∃c ∈(a;b) để m(f) = f(c) (đpcm)

 Loigiaihay.com