Bài 42 trang 83 SGK Toán 9 tập 2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn.

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn. \(P,\, Q,\, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, \, CA, \,AB\) bởi các góc \(A, \,B,\, C\).

a) Chứng minh \(AP \bot QR.\)

b) \(AP\) cắt \(CR\) tại \(I\). Chứng minh tam giác \(CPI\) là tam giác cân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

                        

a) Gọi giao điểm của \(AP\) và \(QR\) là \(K\). 

Vì \(P,\, Q,\, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, \, CA, \,AB\) bởi các góc \(A, \,B,\, C\) nên \(sđ\overparen{AR}=sđ\overparen{RB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}\) , \(sđ\overparen{AQ}=sđ\overparen{QC}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}\), \(sđ\overparen{PC}=sđ\overparen{PB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}.\)  

Suy ra \(sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}\)\(=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}\)\(=\dfrac {1}{2}(sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB})\)\(=\dfrac {1}{2}.360^0=180^0\)

Xét đường tròn \((O)\) ta có:

 +) \(\widehat{AKR}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \(AR\) và \(QP\) nên:  \( \widehat{AKR}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QP}}{2}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}=\dfrac{1}{2}.180^0=90^0.\)

Vậy \(\widehat{AKR} = 90^0\) hay \(AP \bot QR\)

b) Xét đường tròn \((O)\) ta có:

+) \(\widehat{CIP}\)  là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \(AR\)  và \(CP\) nên: \(\widehat{CIP}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\)    (1)

+) \(\widehat {PCI}\) góc nội tiếp chắn cung \(PR\), nên \(\widehat {PCI}=\dfrac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\)    (2) 

Theo giả thiết thì \(\overparen{AR} = \overparen{RB}\)  (3)

và  \(\overparen{CP} = \overparen{BP}\)        (4) 

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\). Do đó \(∆CPI\) cân.

loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close