Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2. Giải các hệ phương trình sau:

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau:

a)  \(\left\{ \matrix{x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)

b)  \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} =  - 1\end{array} \right.\)  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết

a)  

\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1(1) \hfill \cr
\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1(2) \hfill \cr} \right.\) 

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ (1) ta có  \(x = \displaystyle{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}(3)\)

Thế (3) vào (2), ta được:  

\(\eqalign{
& \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 5y = \sqrt 5 \cr
& \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \cr&\Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr} \)

Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:

\(\begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3  - 1} \right) + 3}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt 3  - 1 + \sqrt {15}  + 3 - \sqrt 3  + 3}}{{3\sqrt 5 }}\\
 = \dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt {15}  + 5}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{1 + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{3}
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\displaystyle\left( {{{\sqrt 5  + \sqrt 3  + 1} \over 3};{{\sqrt 5  + \sqrt 3  - 1} \over 3}} \right)\)

b)Giải hệ phương trình: (I) 

\(\left\{ \matrix{
{{2{\rm{x}}} \over {x + 1}} + {y \over {y + 1}} = \sqrt 2 \hfill \cr
{x \over {x + 1}} + {{3y} \over {y + 1}} = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Điều kiện: \(x \ne  - 1;y \ne  - 1\)

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt \(u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}\)

Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là \(u\) và \(v\) ta được:

\(\left\{ \matrix{
2u + v = \sqrt 2 (1') \hfill \cr
u + 3v = - 1(2') \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2u + v = \sqrt 2 (3) \hfill \cr
- 2u - 6v = 2(4) \hfill \cr} \right.\)

Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: \( - 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2  \Leftrightarrow v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\)

Thay \(v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}\) vào (1’), ta được:

\(2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2  \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2  + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}\)

\(\Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}\)

Với giá trị của \(u,v\) vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm \(x, y\).

Ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr
{y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.đk\left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
y \ne - 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \left( {x + 1} \right)\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr
y = \left( {y + 1} \right){{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)} \over 5} \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr
5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr
y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }};{{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }}} \right)\) thỏa mãn điều kiện

Loigiaihay.com

  • Bài 42 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

    Bài 42 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

    Giải bài 42 trang 27 SGK Toán 9 tập 2. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

  • Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

    Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

    Giải bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 2. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km.

  • Bài 44 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

    Bài 44 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

    Giải bài 44 trang 27 SGK Toán 9 tập 2. Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm2 là hợp kim của đồng và kẽm.

  • Bài 45 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

    Bài 45 trang 27 SGK Toán 9 tập 2

    Giải bài 45 trang 27 SGK Toán 9 tập 2. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

?>
Gửi bài tập - Có ngay lời giải