Bài 40 trang 83 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Qua điểm $S$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$, vẽ tiếp tuyến $SA$ và cát tuyến $SBC$ của đường tròn. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt dây $BC$ tại $D.$ Chứng minh $SA = SD.$

Lời giải chi tiết

                 

Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AD$ với đường tròn $(O).$

Xét đường tròn $(O)$ ta có: 

 +) $\widehat{ADS}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung $AB$ và $CE.$

$\Rightarrow \widehat {ADS}=\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CE}}{2}.$  (1)

+) $\widehat{SAD}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $AE.$

$\Rightarrow \widehat {SAD}=\dfrac{1}{2} sđ\overparen{AE}.$  (2)

+) Có: $\widehat {BAE} = \widehat {EAC}$ (do $AE$ là phân giác góc $BAC$)

$\Rightarrow$ $\overparen{BE}=\overparen{EC}$ (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).

$\Rightarrow sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{BE}= sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{EC}$$sđ\overparen{AE}$ (3)

Từ (1) và (3) $\Rightarrow \widehat {ADS}=\dfrac{sđ\overparen{AE}}{2}$ (4)

Từ (2) và (4) $\Rightarrow\widehat {ADS}=\widehat {SAD}$$\Rightarrow$ tam giác $SDA$ cân tại $S$ hay $SA=SD$.