Bài 4 trang 94 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)$ và $D(1; 1; 1)$

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;

(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;

(C) $AB ⊥ CD$ ;

(D) Tam giác $BCD$ là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

Ta có: phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC) là: $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1$ $\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$.

Dễ thấy điểm D không thuộc (ABC) nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Mệnh đề A đúng.

Ta có: 

$\begin{array}{l} AB = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 2 \\ AD = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 2 \\ BD = \sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 2 \\ \Rightarrow AB = AD = BD \end{array}$

Do đó tam giác ABD đều, mệnh đề B đúng.

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0) \cr & \overrightarrow {CD} = (1;1;0) \cr & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - 1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 \cr}$

Mệnh đề C đúng.

 

Chọn (D)

Loigiaihay.com