Bài 4 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Với các giá trị nào của a hàm số $y = ax - {x^3}$ nghịch biến trên $\mathbb R$

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Tập xác định $D=\mathbb R$

$y' = a - 3{x^2}$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3{x^2} + a \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\Delta  = {0^2} - 4.\left( { - 3} \right).a \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 12a \le 0\\ \Leftrightarrow a \le 0\end{array}$

Cách 2. Hàm số nghịch biến trên R, điều kiện y'≤0,∀x ∈R,y'=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.

Ta có: y'≤0 ⇔ a-3x²≤0, ∀x

⇔ 3x² ≥ a, ∀x ∈R

⇔ a≤min(3x² ), mà 3x²≥0 ∀x ∈R

Nên $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} \left( {3{x^2}} \right) = 0$. Vậy $a \le 0$.

Kết luận: với a≤0 thì y=ax-3x³ nghịch biến trên R.

Cách 3:

Tập xác định $D=\mathbb R$

$y' = a - 3{x^2}$

• Nếu $a < 0$ thì $y' < 0$ với mọi $x \in {\mathbb R}$, khi đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb R$.

• Nếu $a = 0$ thì $y' =  - 3{x^2} \le 0$ với mọi $x \in {\mathbb R}$, $y'=0\Leftrightarrow x=0$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb R$.

• Nếu $a > 0$ thì $y' = 0$ $\Leftrightarrow x =  \pm {\sqrt {a  \over 3}}$

Ta có bảng biến thiên

Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên  ${\mathbb R}$

Vậy hàm số nghịch biến trên ${\mathbb R}$ khi và chỉ khi $a \le 0$.

Loigiaihay.com