Bài 8 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$\sin x < x$ với mọi $x > 0,\sin x > x$ với mọi $x < 0$

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $f\left( x \right) = x - \sin x$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$

Đạo hàm $f'\left( x \right) = 1 - \cos x > 0$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$.

Do đó hàm số đồng biến trên $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$

Từ đó với mọi $x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$ ta có:

$f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0$

$\Rightarrow x - \sin x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$.

$\Leftrightarrow x > \sin x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Với $x \ge {\pi  \over 2}$ thì $x > 1 \ge \sin x$.

Vậy $\sin x < x$ với mọi $x > 0$

Xét hàm số f(x) = x – sin x trên $\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]$

Đạo hàm f’(x) = 1 - cos x > 0 $\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$

Do đó hàm số đồng biến trên $\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]$

⇒ f(x) < f(0) hay x- sin x < 0

$\Leftrightarrow x < \sin x,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]$

+ Hiển nhiên: x < sin x với mọi $x \le  - \frac{\pi }{2}$

(vì $x \le  - \frac{\pi }{2} <  - 1 \le \sin x$)

Do đó x < sin x với mọi x < 0.

Cách giải thích khác:

* Với mọi $x<0$, áp dụng chứng minh ở trường hợp x > 0 ta có:

$\sin \left( { - x} \right) <  - x$ (do x < 0 thì -x > 0)

$\Rightarrow  - \sin x <  - x \Rightarrow \sin x > x$

Vậy $\sin x > x$ với mọi $x<0$.

LG b

$\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}$ với mọi $x \ne 0$

Lời giải chi tiết:

Hàm số $g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 }}-1$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ và có đạo hàm $g'\left( x \right) = x - \sin x$

Theo câu a) $g'\left( x \right) > 0$ với mọi $x>0$ nên hàm số g đồng biến trên $\left[ {0; + \infty } \right)$, khi đó ta có

$g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0$ với mọi $x>0$, tức là $\cos x + {{{x^2}} \over 2} - 1 > 0$ với mọi $x>0$

hay $\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}$ với mọi $x>0$ (1)

Với mọi x < 0 thì -x > 0 nên theo (1) ta có:

$\cos \left( { - x} \right) > 1 - {{{{\left( { - x} \right)}^2}} \over 2}$

$\Leftrightarrow \cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}$ với mọi $x < 0$

Vậy $\cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}$ với mọi $x \ne 0$.

Cách khác:

g’(x) = x – sin x

g'(x)=0 $\Leftrightarrow$ x- sin x = 0

⇔ x = 0

Theo câu a ta có bảng biến thiên:

Từ bbt ta thấy $g\left( x \right) > 0,\forall x \ne 0$ $\Leftrightarrow \cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2},\forall x \ne 0$

LG c

$\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}$ với mọi $x > 0$; $\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}$ với mọi $x<0$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $h\left( x \right) = \sin x - x + {{{x^3}} \over 6}$ có đạo hàm $h'(x) = \cos x - 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0$ với mọi $x \ne 0$ (câu b)

Do đó $h$ đồng biến trên $\mathbb R$ nên ta có:

$h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0$ và $h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0$

Từ đó suy ra: $\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}$ với mọi $x>0$

$\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}$với mọi $x<0$

Loigiaihay.com