Bài 4 trang 71 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $A_1$ là trung điểm của cạnh $SA$ và $A_2$ là trung điểm của đoạn $AA_1$. Gọi $(α)$ và $(β)$ là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABCD)$ và lần lượt đi qua $A_1,A_2$. Mặt phẳng $(α)$ cắt các cạnh $SB, SC, SD$ lần lượt tại  $B_1, C_1, D_1$. Mặt phẳng $(β)$ cắt các cạnh $SB, SC, SD$ lần lượt tại $B_2, C_2, D_2$. Chứng minh:

a) $B_1, C_1, D_1$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB, SC, SD$.

b) $B_1B_2 = B_2B$, $C_1C_2 = C_2C$, $D_1D_2 = D_2D$.

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác $ABCD$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) = {A_1}{B_1} \end{array} \right.$ $\Rightarrow {A_1}{B_1}//AB$

Mặt khác $A_1$ là trung điểm của $SA$ nên $A_1B_1$ là đường trung bình của tam giác $SAB$

$⇒B_1$ là trung điểm của $SB$.

Chứng minh tương tự với các điểm còn lại.

b) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} \left( \beta \right)//\left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( \beta \right) = {A_2}{B_2} \end{array} \right.$ $\Rightarrow {A_2}{B_2}//AB$

Mà ${A_1}{B_1}//AB \Rightarrow {A_2}{B_2}//{A_1}{B_1}$

${A_2}$ là trung điểm của $A{A_1}$ nên $A_2{B_2}$ là đường trung bình của hình thang $AB{B_1}{A_1}$

$\Rightarrow \;{B_2}$ là trung điểm của ${B_1}B$

Do đó ${B_1}{B_2} = {B_2}B$.

Chứng minh tương tự ta được: $C_1C_2 = C_2C$, $D_1D_2 = D_2D$.

c) Có hai hình chóp cụt có một đáy là tứ giác $ABCD$: $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1};$ $ABCD.{A_2}{B_2}{C_2}{D_2}$.

Loigiaihay.com