Bài 2 trang 71 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $M$ và $M'$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $B'C'$

a) Chứng minh rằng $AM$ song song với $A'M'$.

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng $(AB'C')$ với đường thẳng $A'M$

c) Tìm giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(AB'C')$ và $(BA'C')$

d) Tìm giao điểm $G$ của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(AM'M)$. Chứng minh $G$ là trọng tâm của tam giác $AB'C'$.

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác $BMM'B'$ có $BM//B'M'$ và $BM=B'M'$ nên $BMM'B'$ là hình bình hành.

$\Rightarrow MM'//BB'//AA'$ và $MM'=BB'=AA' \Rightarrow AA'M'M$ là hình bình hành.

$\Rightarrow AM//A'M'$

b) Trong $mp (AA'M'M)$, gọi $K=MA' ∩ AM'$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in A'M\\K \in AM' \subset \left( {AB'C'} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow K =A'M\cap (AB'C')$

c) Trong $(ABB'A')$ gọi $O= AB'\cap A'B$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AB' \subset \left( {AB'C'} \right)\\O \in A'B \subset \left( {BA'C'} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow O \in \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {BA'C'} \right)$

Mà $C' \in \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {BA'C'} \right)$ nên $\Rightarrow OC' = \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {BA'C'} \right)$.

d) Trong $(AB'C')$: gọi $G= C'O ∩ AM'$,

$G  \in AM'\subset ( AMM')$ nên $G=d\cap (AMM')$.

Mà $O, M'$ lần lượt là trung điểm $AB'$ và $B'C'$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $AB'C'$.

Loigiaihay.com