Bài 1 trang 71 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng ($\alpha$) cho hình bình hành $ABCD$. Qua $A, B, C, D$ lần lượt vẽ bốn đường thẳng $a,b,c,d$ song song với nhau và không nằm trên ($\alpha$). Trên $a, b, c$ lần lượt lấy ba điểm $A', B', C'$ tùy ý

a) Hãy xác định giao điểm $D'$ của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(A'B'C')$.

b) Chứng minh $A'B'C'D'$ là hình bình hành. 

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O = AC ∩ BD$; $O'$ là trung điểm $A'C'$ thì OO' là đường trung bình của hình thang $ACC'A'$ $\Rightarrow OO' // AA'$

$\Rightarrow OO'// d // b$ mà $OO' \subset mp (b;d) \Rightarrow O' \in mp (b;d)$ ( mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song).

Trong $mp (b;d)$, gọi $D'=d ∩ B'O'$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}D' \in B'O' \subset \left( {A'B'C'} \right)\\D' \in d\end{array} \right.$

$\Rightarrow D' = d \cap \left( {A'B'C'} \right)$ chính là điểm cần tìm.

b) $mp(a;d) // mp( b;c)$ , mặt phẳng thứ 3 $(A'B'C'D')$ cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến song song : $A'D' // B'C'$. Chứng minh tương tự được $A'B' // D'C'$.

Từ đó suy ra $A'B'C'D'$ là hình bình hành.

Cách khác:

a) Giả sử $\left( {ABC} \right) \cap {\rm{ }}d = {\rm{ }}D$

$\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( {CCD} \right) = {\rm{ }}CD.}\\ { + {\rm{ }}AA//CC \subset \left( {CCD} \right)}\\ { \Rightarrow {\rm{ }}AA//\left( {CCD} \right).}\\ {AB//CD \subset \left( {CCD} \right)}\\ { \Rightarrow {\rm{ }}AB//\left( {CCD} \right)} \end{array}$

$(AA’B’B)$ có: $\left\{ \begin{array}{l}AA'//\left( {C'CD} \right)\\AB//\left( {C'CD} \right)\\AA' \cap AB\end{array} \right.$

$\Rightarrow {\rm{ }}\left( {AABB} \right){\rm{ }}//{\rm{ }}\left( {CCD} \right).$

Mà $\left( {ABC} \right) \cap \left( {AABB} \right) = {\rm{ }}AB$

$⇒ (A’B’C’)$ cắt $(C’CD)$ và giao tuyến song song với $A’B’$

$⇒ C’D’ // A’B’.$

b) Chứng minh tương tự phần $a$ ta có $B’C’ // A’D’.$

Tứ giác $A’B’C’D’$ có: $B’C’ // A’D’$ và $C’D’ // A’B’$

$⇒ A’B’C’D’$ là hình bình hành.

 Loigiaihay.com