Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \);

b) \(\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}\) với \( - \pi  < \alpha  < 0\);

c) \(\tan \alpha  = 3\) với \( - \pi  < \alpha  < 0\);

d) \(\cot \alpha  =  - 2\) với \(0 < \alpha  < \pi \).

Lời giải chi tiết

a)  Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha  = 1\),

mà \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) nên \({\cos ^2}\alpha + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{16}}\).

Lại có \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{1}{4}\).

Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\rm{s}}\alpha }} = - \sqrt {15} \); \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\).

b) Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha  = 1\),

mà \(\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}\) nên \({\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).

Lại có \( - \pi < \alpha < 0\) nên \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\rm{s}}\alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\); \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

c) Ta có \(\tan \alpha = 3\) nên \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).

\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + {3^2} = 10 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}}\).

Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{9}{{10}}\).

Vì \( - \pi  < \alpha  < 0\) nên \(\sin \alpha  < 0\), do đó \(\sin \alpha  =  - \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).

Vì \(\sin \alpha  < 0\), \(\tan \alpha = 3 > 0\) nên \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

d) Ta có \(\cot \alpha =  - 2\) nên \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \frac{1}{2}\).

\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + {( - 2)^2} = 5 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5}\).

Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{5}\).

Vì \(0 < \alpha  < \pi \) nên \(\sin \alpha  > 0 \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Vì \(\cot \alpha =  - 2 < 0\) và \(\sin \alpha  > 0\) nên \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).