Bài 4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai hình bình hành ABCDABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC)

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P)AC. Tính \(\frac{{AN}}{{NC}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, ba, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành)

AD thuộc (AFD), BC thuộc (BEC)

nên (AFD) // (BEC)

b) Trong (ABEF), kẻ đường thẳng d qua M // AF

Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)

Trong (ABCD)I thuộc  (P)(P) // (AFD)

Suy ra từ I kẻ IH // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (IJH) trùng (P)// (AFD)

Ta có: (P) cắt AC tại NAC thuộc (ABCD), IH thuộc (P)(ABCD)

Suy ra IH cắt AC tại N

Ta có các hình bình hành IBCH, IBEJ

Gọi O là trung điểm của AB

Ta có M là trọng tâm của tam giác ABE

Suy ra \(\frac{{MO}}{{ME}} = \frac{1}{2}\)

Ta có AB // CD suy ra AI // CH

Định lý Ta – let:\(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{CH}}\)

CH = IB (IBCH là hình bình hành)

Suy ra\(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}}\)

Ta có: AB // EF nên OI // EJ

Do đó:\(\frac{{OI}}{{{\rm{EJ}}}} = \frac{{MO}}{{ME}} = \frac{1}{2}\)

EJ = IB (IBEJ là hình bình hành)

Suy ra\(\frac{{OI}}{{IB}} = \frac{1}{2}\) hay\(IB = 2OI\)

Ta có\(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{AO + OI}}{{2OI}}\)

OA = OB (O là trung điểm AB)

Nên \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{OB + OI}}{{2OI}} = 2\)

Do đó: \(\frac{{AN}}{{NC}} = 2\)

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close