Bài 36 trang 82 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn \((O)\) và hai dây \(AB\), \(AC\). Gọi \(M, N\) lần lượt là điểm chính giữa của cung \(AB\) và cung \(AC\). Đường thẳng \(MN\) cắt dây \(AB\) tại \(E\) và cắt dây \(AC\) tại \(H\). Chứng minh rằng tam giác \(AEH\) là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

                                

Xét đường tròn (O):

Vì  \(\widehat {AHM}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn các cung \(AM\) và cung \(NC\) nên \(\widehat {AHM}\)= \(\dfrac{sđ\overparen{AM}+sđ\overparen{NC}}{2}\,\,\, (1)\)   

Vì  \(\widehat {AEN}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn các cung \(AN\) và cung \( MB\) nên \(\widehat {AEN}\)= \(\dfrac{sđ\overparen{MB}+sđ\overparen{AN}}{2}\,\,\,  (2)\)       

Ta có:

\(\overparen{AM}=\overparen{MB}   (3)\) (\(M\) là điểm chính giữa cung \(AB\)).

\(\overparen{NC}=\overparen{AN}    (4)\)  \(N\) là điểm chính giữa cung \(AC\)).

Từ (1),(2), (3), (4), suy ra \(\widehat {AHM}= \widehat {AEN}\). Do đó \(∆AEH\) cân tại A