Bài 33 trang 80 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho $A, B, C$ là ba điểm trên một đường tròn. $At$ là tiếp  tuyến của đường tròn tại $A$. Đường thẳng song song với $At$ cắt $AB$ tại $M$ và cắt $AC$ tại $N$.

Chứng minh: $AB. AM = AC . AN$

Lời giải chi tiết

                    

Xét đường tròn $(O)$ ta có: 

$\widehat C$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$

$\widehat{BAt}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $AB.$

$\Rightarrow \widehat {BAt} = \widehat C.$             (1)

Lại có vì $MN//At$ nên  $\widehat{AMN} = \widehat {BAt}$ (so le trong)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{AMN} = \widehat C$              (3)

Xét hai tam giác $AMN$ và $ACB$ ta có:

             $\widehat A$ chung

             $\widehat M = \widehat C \, \, (theo (3))$

Vậy $∆AMN ∽ ∆ACB \, (g-g)$

$\displaystyle \Rightarrow {{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AB. AM = AC . AN$ (đpcm).

loigiaihay.com