Bài 32 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 2 \). Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.

a) Chứng minh rằng \(AE \bot (SBC)\).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\left. \begin{array}{l}SC \bot (P)\\AE \subset (P)\end{array} \right\} \Rightarrow SC \bot AE\) (1)

\(\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\}\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot (SAB)\\AE \subset (SAB)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot AE\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE \bot (SBC)\).

b) Chứng minh tương tự ý a), ta có \({\rm{AF}} \bot (SCD)\).

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

+) \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}\)

\(  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \).

+) \(S{A^2} = SE.SB \)

\(\Rightarrow SE = \frac{{S{A^2}}}{{SB}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác SBC vuông tại B có:

\(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}}  \)

\(= \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}}  = 2a\).

Xét tam giác SAD vuông tại A có:

+) \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  \)

\(= \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \).

+) \(S{A^2} = SF.SD \)

\(\Rightarrow SF = \frac{{S{A^2}}}{{SD}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

\(S{A^2} = SM.SC \)

\(\Rightarrow SM = \frac{{S{A^2}}}{{SC}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2a}} = a\).

Ta có \(\frac{{{V_{S.AEM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}}\)

\( = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{{a\sqrt 3 }}.\frac{a}{{2a}} = \frac{1}{3}\).

\( \Rightarrow {V_{S.AEM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}}\).

\(\frac{{{V_{S.AFM}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SF}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}}\)

\( = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{{a\sqrt 3 }}.\frac{a}{{2a}} = \frac{1}{3}\).

\( \Rightarrow {V_{S.AFM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ADC}}\).

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\)

\( = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Thể tích hình chóp S.AEMF là:

\({V_{S.AEMF}} = {V_{S.AEM}} + {V_{S.AFM}}\)

\( = \frac{1}{3}\left( {{V_{S.ABC}} + {V_{S.ADC}}} \right) = \frac{1}{3}.{V_{S.ABCD}}\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\).