Bài 32 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết $SA \bot (ABCD)$ và $SA = a\sqrt 2$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.

a) Chứng minh rằng $AE \bot (SBC)$.

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $BD \bot AC,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right);SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC$

Trong (ABCD) qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD lần lượt tại K, H

$\Rightarrow HK \bot SC \Rightarrow H,K \in \left( P \right)$

Trong (SAC) qua A kẻ đường thẳng vuông góc với SC

Mà $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng SC cắt các cạnh SC tại M nên $AM \bot SC$

Do đó mặt phẳng (P) là (MHK) mà $(P)$ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại E, F nên:

trong (SBC) có SB cắt MK tại E, trong (SCD) có SD cắt MH tại F

Ta có $BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right);AE \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE$

Mà $AE \bot SC\left( {SC \bot \left( P \right)} \right) \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right)$

b) Ta có $CD \bot AD,CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right);AF \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AF$

Mà $AF \bot SC\left( {SC \bot \left( P \right)} \right) \Rightarrow AF \bot \left( {SBC} \right)$

Xét tam giác SAB vuông tại A có

+) $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3$

+) $S{A^2} = SE.SB \Rightarrow SE = \frac{{S{A^2}}}{{SB}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác SBC vuông tại B có

$SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}}  = 2a$

Xét tam giác SAD vuông tại A có

+) $SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3$

+) $S{A^2} = SF.SD \Rightarrow SF = \frac{{S{A^2}}}{{SD}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác SAC vuông tại A có $S{A^2} = SM.SC \Rightarrow SM = \frac{{S{A^2}}}{{SC}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2a}} = a$

Ta có $\frac{{{V_{S.AEM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{{a\sqrt 3 }}.\frac{a}{{2a}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.AEM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}}$

$\frac{{{V_{S.AFM}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SF}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{{a\sqrt 3 }}.\frac{a}{{2a}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.AFM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ADC}}$

Thể tích khối chóp S.ABCD là ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$

Thể tích hình chóp S.AEMF là

${V_{S.AEMF}} = {V_{S.AEM}} + {V_{S.AFM}} = \frac{1}{3}\left( {{V_{S.ABC}} + {V_{S.ADC}}} \right) = \frac{1}{3}.{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}$