Bài 34 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \(\widehat {BAD} = {60^0}\). Biết \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\).

a) Chứng minh rằng \(BD \bot SC\).

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(BD \bot AC,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right);SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\)

b) Trong (SAC) kẻ \(OE \bot SC\)

Mà \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow OE \bot BD\)

\( \Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = OE\)

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\)

Xét tam giác BAD có AB = AD, \(\widehat {BAD} = {60^0}\) \( \Rightarrow \) Tam giác BAD đều

\( \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \)

Xét tam giác SAC vuông tại A có

\(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2a\)

Dễ dàng chứng minh được

\( \Rightarrow \frac{a}{{OE}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow OE = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \(d\left( {BD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)