Bài 33 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, \(AA' = a\sqrt 2 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BB' và CC'. Mặt phẳng (A'MN) cắt đường thẳng AB, AC tương ứng tại H và K.

a) Chứng minh rằng MN // HK.

b) Tính theo a thể tích khối chóp A'.AHK.

Lời giải chi tiết

Vì A’B’ // BH nên theo hệ quả định lí Thales:

\(\frac{{A'M}}{{MH}} = \frac{{B'M}}{{MB}} = 1 \Rightarrow A'M = MH\).

Chứng minh tương tự, suy ra \(A'N = NK\).

Do đó MN là đường trung bình của tam giác A’HK, hay MN // HK.

b) Vì A’B’ // BH nên theo hệ quả định lí Thales:

\(\frac{{A'B'}}{{BH}} = \frac{{B'M}}{{MB}} = 1 \Rightarrow A'B' = BH = AB\).

Chứng minh tương tự, suy ra \(CK = AC\).

Do đó BC là đường trung bình của tam giác AHK, hay BC // HK và \(BC = \frac{1}{2}HK\).

Theo hệ quả định lí Thales, hai tam giác ABC và AHK đồng dạng với nhau, do đó AHK là tam giác đều cạnh HK = 2BC = 2a.

Thể tích khối chóp A’.AHK là:

\(V = \frac{1}{3}.AA'.{S_{AHK}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .\frac{{{{(2a)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).