Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên $3$ cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm $36$ cm², và nếu một cạnh giảm đi $2$cm, cạnh kia giảm đi $4$ cm thì diện tích của tam giác giảm đi $26$ cm²

Lời giải chi tiết

Gọi $x$ (cm), $y$ (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện $x > 2, y > 4$.

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác vuông lúc ban đầu là: $S=\dfrac{1}{2}xy$ $(cm^2)$.

Độ dài hai cạnh sau khi tăng mỗi cạnh thêm $3$ cm là:  $(x+3)$ (cm) và $(y+3)$ (cm).

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác sau khi tăng độ dài cạnh là: $\dfrac{1}{2}(x+3)(y+3)$ $(cm^2)$

Vì diện tích lúc này tăng thêm $36$ cm² so với ban đầu, nên ta có phương trình:

$\dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36$ (1) 

+ Nếu một cạnh giảm đi $2$cm, cạnh kia giảm đi $4$ cm thì độ dài 2 cạnh sau khi giảm là: $(x-2)$ (cm) và $(y-4)$ (cm)

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác sau khi giảm độ dài cạnh là: $\dfrac{1}{2}(x-2)(y-4)$ $(cm^2)$

Lúc này diện tích tam giác giảm $26$ $cm^2$ so với ban đầu, nên ta có phương trình:

$\dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36 & & \\ \dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 & & \\ xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y -xy  = 72-9 & & \\ xy - 4x - 2y - xy= - 52 -8& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x + 3y = 63 & & \\ -4x - 2y =- 60 & & \end{matrix}\right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 21\\ 2x + y = 30 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - \left( {x + y} \right) = 30 - 21\\ x + y = 21 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 9\\ 9 + y = 21 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 9\\ y = 12 \end{array} \right.\left( {\,thỏa\,mãn} \right) \end{array}$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là $9$ cm, $12$ cm.