Bài 32 trang 23 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau $4\dfrac{4}{5}$ giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và $9$ giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau $\dfrac{6}{5}$ giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

Lời giải chi tiết

Đổi $4\dfrac{4}{5}$ giờ  $=\dfrac{5.4+4}{5}$ giờ $=\dfrac{24}{5}$ giờ

Gọi $x$ (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể $(x > \dfrac{24}{5})$. 

      $y$ (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể $(y > \dfrac{24}{5})$.

Trong $1$ giờ vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể.

Suy ra trong $1$ giờ, cả hai vòi chảy được: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ (bể)

Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy đầy bể sau $4\dfrac{4}{5}$ giờ = $\dfrac{24}{5}$ giờ nên trong $1$ giờ cả hai vòi cùng chảy được $\dfrac{5}{24}$ bể.

Ta có phương trình: $\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}= \dfrac{5}{24}$  (1)

Trong $9$ giờ, vòi thứ nhất chảy được $9.\dfrac{1}{x}$ bể.

Trong $\dfrac{6}{5}$ giờ cả hai vòi chảy được $\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}$ bể.

Theo đề bài, vòi thứ nhất chảy $9h$ sau đó mở thêm vòi thứ hai thì sau $\dfrac{6}{5}$ giờ đầy bể nên ta có phương trình:

$9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}=1$

$\Leftrightarrow  9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1$ $\Leftrightarrow  {\left(9+\dfrac{6}{5}\right)} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1$

$\Leftrightarrow  \dfrac{51}{5}.\dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1$ $\Leftrightarrow  51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} & & \\ 51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5 & & \end{matrix}\right.$

Đặt  $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\  \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.$  với $a > 0,\ b> 0.$

Hệ đã cho trở thành:

$\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{5}{24} & & \\ 51a+ 6b=5 & & \end{matrix}\right.$ 

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a + 6b = \dfrac{5}{4}\\ 51a + 6b = 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 51a + 6b - \left( {6a + 6b} \right) = 5 - \dfrac{5}{4}\\ 6a + 6b = \dfrac{5}{4} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 45a = \dfrac{{15}}{4}\\ a + b = \dfrac{5}{{24}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}}\\ \dfrac{1}{{12}} + b = \dfrac{5}{{24}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}}\\ b = \dfrac{5}{{24}} - \dfrac{1}{{12}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}}\\ b = \dfrac{1}{8} \end{array} \right.\left( {\,thỏa\,mãn} \right) \end{array}$

Do đó $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12} & & \\  \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8} & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =12 & & \\ y=8  & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.$

Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau $8$ giờ bể sẽ đầy.

Cách khác:

Gọi lượng nước vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình trong 1 giờ lần lượt là x (bể) và y (bể).

Điều kiện 0 < x, y < 1.

+ Cả hai vòi cùng chảy trong $4\dfrac{4}{5} = 4,8$ giờ đầy 1 bể nên ta có phương trình: $4,8x + 4,8y = 1.$

+ Nếu mở vòi thứ nhất trong 9 giờ thì chảy được 9x (bể)

Sau $\dfrac{6}{5} = 1,2$ giờ sau mở thêm vòi thứ hai thì chảy thêm được: $1,2 (x + y)$ (bể)

Khi đó bể đầy nên ta có phương trình: $9x + 1,2(x + y) = 1.$

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 4,8x + 4,8y = 1\\ 9x + 1,2\left( {x + y} \right) = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4,8x + 4,8y = 1\\ 10,2x + 1,2y = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4,8x + 4,8y = 1\\ 40,8x + 4,8y = 4 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4,8x + 4,8y = 1\\ 40,8x + 4,8y - \left( {4,8x + 4,8y} \right) = 4 - 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4,8x + 4,8y = 1\\ 36x = 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{{12}}\\ 4,8.\dfrac{1}{{12}} + 4,8y = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{{12}}\\ y = \dfrac{1}{8} \end{array} \right. \end{array}$

⇒ một giờ vòi hai chảy một mình được $\dfrac{1}{8}$ bể

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể. 

Loigiaihay.com