Bài 3 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 2 \), có các cạnh bên đều bằng \(2a\).

a) Tính góc giữa \(SC\) và \(AB\).

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \(SAB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có:

\(AB\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {SC,AB} \right) = \left( {SC,C{\rm{D}}} \right) = \widehat {SC{\rm{D}}}\)

Xét \(\Delta SCD\) có:

\(\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{{\rm{D}}^2} - S{{\rm{D}}^2}}}{{2.SC.C{\rm{D}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \widehat {SCD} \approx {69^ \circ }18'\)

Vậy \(\left( {SC,AB} \right) \approx {69^ \circ }18'\).

b) Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}}\).

\(\Delta SAC\) cân tại \(S \Rightarrow SO \bot AC\)

\(\Delta SB{\rm{D}}\) cân tại \(S \Rightarrow SO \bot B{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow O\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Lại có \(A,B \in \left( {ABCD} \right)\).

Vậy tam giác \(OAB\) là hình chiếu vuông góc của tam giác \(SAB\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)

Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 2a\)

Mà ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của mỗi đường chéo.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AO = BO = \frac{{AC}}{2} = a\\ \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}AO.BO = \frac{1}{2}a.a = \frac{1}{2}{a^2}\end{array}\)

Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) là \(\frac{1}{2}{a^2}\)