Bài 3 trang 53 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho ba đường thẳng ${d_{1,}}{d_2},{d_3}$ không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải chi tiết

Gọi ${d_{1,}}{d_2},{d_3}$ là ba đường thẳng đã cho.

Gọi $I =d_1\cap d_2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I \in {d_1}\\ I \in {d_2} \end{array} \right.$

Ta chứng minh $I ∈ d_3$. Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau $d_1,d_3$.

$(\gamma)$ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau $d_2,d_3$.

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và $(\gamma)$ phân biệt.

Ngoài ra 

$\left\{ \begin{array}{l} {d_3} \subset \left( \beta \right)\\ {d_3} \subset \left( \gamma \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}$

$I ∈ d_1\subset \left( \beta \right) \Rightarrow  I ∈ (β) = (d_1,d_3)$

$I ∈ d_2\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2,d_3)$

Từ đó suy ra, $I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=d_3$.

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau ${d_{1,}}{d_2}$

Gọi $M = {d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_1}\;;{\rm{ }}N{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_2}$. Giả sử $M \ne {\rm{ }}N$

Ta có: 

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} M\; \in \;{d_{1\;}} \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;M\; \in \;\left( P \right)\\ N\; \in \;{d_2}\; \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;N\; \in \;\left( P \right)\\ M,N \in {d_3} \end{array} \right.\quad \\ \Rightarrow {d_3} \equiv MN \subset (P)  \end{array}$

$\Rightarrow {\rm{ }}{d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;$ cùng thuộc mặt phẳng $(P)$ (trái với giả thiết ${d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;$ không đồng phẳng).

$\Rightarrow$ Giả sử sai.

Vậy $M \equiv {\rm{ }}N$ và ${\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}$ đồng quy tại $M$

Vậy ${\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}$ đồng quy.

 Loigiaihay.com