Bài 4 trang 53 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho bốn điểm $A, B, C$ và $D$ không đồng phẳng. Gọi ${G_{A}}^{}$, ${G_{B}}^{}$, ${G_{C},{G_{D}}^{}}^{}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD, CDA, ABD, ABC$. Chứng minh rằng, $A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}$ đồng quy.

Lời giải chi tiết

Gọi $N$ là trung điểm $CD$.

+ ${G_A}$ là trọng tâm $\Delta BCD$

⇒ ${G_A}$ thuộc trung tuyến $BN\; \subset \;\left( {ANB} \right)$

⇒ ${AG_A} ⊂ (ANB)$

${G_B}$ là trọng tâm $ΔACD$

⇒ ${G_B}$ thuộc trung tuyến $AN ⊂ (ANB)$

⇒ ${BG_B} ⊂ (ANB).$

Trong $\left( {ANB} \right):{\rm{ }}A{G_A}$ không song song với ${BG_B}$

⇒ ${AG_A}$ cắt ${BG_B}$ tại $O$

+ Chứng minh tương tự: ${BG_B}$ cắt $C{G_C};{\rm{ }}C{G_C}$ cắt ${AG_A}$.

+ $C{G_C}$ không nằm trong $\left( {ANB} \right)\; \Rightarrow \;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}\;$ không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.

Áp dụng kết quả bài 3 $\Rightarrow {\rm{ }}A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}$ đồng quy tại $O$

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: $\;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}D{G_D}$ đồng quy tại $O$

Vậy $A{G_A};{\rm{ }}B{G_B}\;;{\rm{ }}C{G_C};{\rm{ }}D{G_D}$ đồng quy tại $O$ (đpcm).

 

Loigiaihay.com