Bài 3 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AA_1\), đường cao \(BB_1\) và phân giác \(CC_1\) đồng quy. Tìm hệ thức liên hệ giữa ba cạnh của tam giác.

Lời giải chi tiết

(h.136).

Ta đặt : \(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow u  ,  \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow v \).

Khi đó, \(|\overrightarrow u | = CA ,  |\overrightarrow v | = CB = a\). Giả sử trung tuyến \(AA_1\) cắt phân giác \(CC_1\) tại \(I\), khi đó \( \dfrac{{IA}}{{I{A_1}}} =  \dfrac{{CA}}{{C{A_1}}} =  \dfrac{{2b}}{a}\) hay \(a.IA = 2b.I{A_1}\). Vì \(I\) nằm giữa \(A\) và \(A_1\) nên \(a.\overrightarrow {IA}  =  - 2b.\overrightarrow {I{A_1}}  \)

\(   \Leftrightarrow    a\left( {\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {CI} } \right) =  - 2\left( {\overrightarrow {C{A_1}}  - \overrightarrow {CI} } \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {CI}  =  \dfrac{{a.\overrightarrow {CA}  + 2b\overrightarrow {C{A_1}} }}{{a + 2b}} =  \dfrac{{a\overrightarrow u  + b\overrightarrow v }}{{a + 2b}}\).

Do đó ta có \(\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {CI}  - \overrightarrow {CB}\)

\(  =  \dfrac{{a\overrightarrow u  + b\overrightarrow v }}{{a + 2b}} - \overrightarrow v\)

\(  =  \dfrac{{a\overrightarrow u  - (a + b)\overrightarrow v }}{{a + 2b}}\).

Vì đường cao \(BB_1\) đi qua \(I\) nên  \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CA}  = 0\) hay \(\left[ {a\overrightarrow u  - (a + b)\overrightarrow v } \right].\overrightarrow u  = 0\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}a{\overrightarrow u ^2} - (a + b)\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0 \\   \Rightarrow    a.{b^2} - (a + b)ab\cos C = 0\\               \Rightarrow    a{b^2} =  \dfrac{1}{2}(a + b)({a^2} + {b^2} - {c^2}) = 0\\               \Rightarrow   2a{b^2} - a\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right) - b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right) = 0\\               \Rightarrow   - a\left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right) - b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right) = 0\end{array}\)

Vậy ta có lien hệ : \(a( - {a^2} + {b^2} + {c^2}) = b({a^2} + {b^2} - {c^2})\).

Loigiaihay.com