Bài 7 trang 189 SBT Hình học 10 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng \(\Delta (m)\) luôn đi qua một điểm cố định và đường thẳng \(\Delta '(m)\) cũng luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải chi tiết:

Hiển nhiên đường thẳng \(\Delta (m)\) luôn luôn đi qua gốc tọa độ O. Phương trình của \(\Delta '(m)\) có thể viết dưới dạng : \(\sqrt {1 - {m^2}} (x + 1) - (m + 1)y = 0\), nên \(\Delta '(m)\) luôn đi qua điểm (-1 ; 0).

LG b

Tìm tọa độ giao điểm M của \(\Delta (m)\) và \(\Delta '(m)\).

Lời giải chi tiết:

 Giải hệ  \(\left\{ \matrix{  \sqrt {1 - {m^2}} x - my = 0 \hfill \cr  \sqrt {1 - {m^2}} x - (m + 1)y + \sqrt {1 - {m^2}}  = 0 \hfill \cr}  \right.\) ta được giao điểm M có tọa độ x=m và \(y = \sqrt {1 - {m^2}} \).

LG c

Chứng minh rằng khi m thay đổi, điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết:

Theo câu b), tọa độ (x ; y) của M thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 1\). Vậy M luôn nằm trên đường tròn tâm O bán kính R=1.

LG d

 Với giá trị nào của m thì góc giữa hai đường thẳng \(\Delta (m)\) và \(\Delta '(m)\) bằng 60⁰ ?

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta (m)\) và \(\Delta '(m)\) thì:

\(\eqalign{  & \cos \varphi  = {{\left| {{{\left( {\sqrt {1 - {m^2}} } \right)}^2} + m(m + 1)} \right|} \over {\sqrt {(1 - {m^2}) + {m^2}} .\sqrt {(1 - {m^2}) + {{(m + 1)}^2}} }} = {{|m + 1|} \over {\sqrt {2(m + 1)} }} = \sqrt {{{m + 1} \over 2}} .  \cr  & \varphi  = {60^0}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\cos \varphi  = {1 \over 2}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\sqrt {{{m + 1} \over 2}}  = {1 \over 2}\,\, \Leftrightarrow m =  - {1 \over 2}. \cr} \)

Vậy \(m =  - {1 \over 2}\).

Loigiaihay.com