Bài 8 trang 189 SBT Hình học 10 Nâng cao

LG a

Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\end{array}\)

Tâm và bán kính của đường tròn lần lượt là \(I\left( {2;0} \right);R = 1\)

LG b

Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng 4x-3y=0.

Lời giải chi tiết:

Tâm đường tròn (C’) có bán kính bằng 1 và có tâm I’ đối xứng với I qua đường thẳng d: 4x-3y=0. Giả sử I’=(x ; y) thì vec tơ \(\overrightarrow {II'}  = (x - 2;y)\) phải vuông góc với vec tơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = (3\,;\,4)\), tức là 3(x-2)+4y=0  hay  3x+4y-6=0.           (1)

Ngoài ra trung điểm của II’ là \(P = \left( {{{x + 2} \over 2}\,;\,{y \over 2}} \right)\) phải nằm trên d, tức là: \({{4(x + 2)} \over 2} - {{3y} \over 2} = 0\) hay 4x-3y+8=0.        (2)

Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta được tọa độ I’ là \(x =  - {{14} \over {25}}\,,\,\,y = {{48} \over {25}}\).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là \({\left( {x + {{14} \over {25}}} \right)^2} + {\left( {y - {{48} \over {25}}} \right)^2} = 1\).

LG c

Gọi M là điểm có tọa độ M=(0 ; m). Gọi MT và MT’ là hai tiếp tuyến của (C). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm T và T’. Chứng minh rằng đường thẳng TT’ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải chi tiết:

 Hiển nhiên hai tiếp điểm T và T’ đều nằm trên đường tròn (C₁) có đường  kính MI. Đường tròn đó có tâm là trung điểm Q của MI, \(Q = \left( {1\,;\,{m \over 2}} \right)\) và có bán kính \(r = QI = \sqrt {1 + {{{m^2}} \over 4}} \). Vậy (C₁) có phương trình:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - {m \over 2}} \right)^2} = 1 + {{{m^2}} \over 4}\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^2} + {y^2} - 2x - my = 0.\)

Hai tiếp điểm T và T’ là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C₁) nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0 \hfill \cr  {x^2} + {y^2} - 2x - my = 0. \hfill \cr}  \right.\)

Từ hai phương trình trên, ta suy ra 2x-my-3=0.    (*)

Tọa độ của T và T’ là các nghiệm của hệ phương trình trên nên cũng là  nghiệm của phương trình (*). Suy ra chính là phương trình của đường thẳng TT’. Đường thẳng đó luôn đi qua điểm cố định \(S\left( {{3 \over 2}\,;\,0} \right)\). 

Loigiaihay.com