Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng caoGiải bài tập Bài 4 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao Quảng cáo
Đề bài Trên các cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \( \dfrac{{AM}}{{MC}} = \dfrac{{NC}}{{NB}} = k\), trên \(MN\) lấy điểm \(P\) sao cho \( \dfrac{{PM}}{{PN}} = k\). Gọi \(S, S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC, APM\) và \(BPN\). Chứng minh \(\sqrt[3]{S} = \sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}}\). Lời giải chi tiết (h.137).
Từ giả thiết\( \dfrac{{AM}}{{MC}} = k\), ta suy ra: \( \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{k}{{k + 1}}\) và \( \dfrac{{MC}}{{AC}} = \dfrac{1}{{k + 1}}\). Tương tự như thế: \( \dfrac{{NC}}{{BC}} = \dfrac{k}{{k + 1}} ,\) \( \dfrac{{NB}}{{BC}} = \dfrac{1}{{k + 1}} , \) \( \dfrac{{PM}}{{MN}} = \dfrac{k}{{k + 1}} , \) \( \dfrac{{PN}}{{MN}} = \dfrac{1}{{k + 1}}\). Từ đó suy ra : \(\begin{array}{l}{S_1} = {S_{APM}} = \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{AMN}} \\= \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ACN}}\\ = \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}. \dfrac{k}{{k + 1}}{S_{ABC}}\\ = {\left( { \dfrac{k}{{k + 1}}} \right)^3}S.\end{array}\) Tính toán tương tự, ta có \({S_2} = {\left( { \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)^3}S\). Vậy \(\sqrt[3]{{{S_1}}} + \sqrt[3]{{{S_2}}} = \dfrac{k}{{k + 1}}\sqrt[3]{S} + \dfrac{1}{{k + 1}}\sqrt[3]{S}\) \(= \sqrt[3]{S}\). Loigiaihay.com
Quảng cáo
|