Bài 24 trang 55 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai hàm số bậc nhất $y = 2x + 3k$  và  $y = (2m + 1)x + 2k - 3$.

Tìm điều kiện đối với $m$ và $k$ để đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng cắt nhau;

b) Hai đường thẳng song song với nhau;

c) Hai đường thằng trùng nhau.

Lời giải chi tiết

 Ta có: 

      $(d_{1})$  $y = 2x + 3k \Rightarrow \left\{ \matrix{ {a} = 2 \hfill \cr {b} = 3k \hfill \cr} \right.$

      $(d_{2})$   $y = \left( {2m + 1} \right)x + 2k - 3 \Rightarrow \left\{ \matrix{ {a'} = 2m + 1 \hfill \cr {b'} = 2k - 3 \hfill \cr} \right.$

Hai hàm số đã cho là hàm bậc nhất  khi và chỉ khi:

$\left\{ \matrix{ a \ne 0 \hfill \cr a' \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 \ne 0 \hfill \cr 2m + 1 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 \ne 0 \hfill \cr 2m \ne - 1 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 \ne 0 (luôn\ đúng) \hfill \cr m \ne \dfrac{-1}{2} \hfill \cr} \right.$

a) Hai đường thẳng cắt nhau:

            $(d_{1})$ cắt $(d_{2}) \Leftrightarrow a \ne a'$

                                   $\Leftrightarrow 2\neq 2m+1$

                                   $\Leftrightarrow 2-1 \neq 2m$

                                   $\Leftrightarrow 1 \ne 2m$

                                   $\Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}$

Kết hợp điều kiện hàm bậc nhất $m \ne  \pm \dfrac{1}{2}$.

b) Hai đường thẳng song song:

             $(d_{1})  // (d_{2}) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=a' \\ b\neq b' \end{matrix}\right.$

                               $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2m+1\\ 3k\neq 2k-3 \end{matrix}\right.$

                               $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2-1=2m\\ 3k-2k\neq -3 \end{matrix}\right.$

                               $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=\dfrac{1}{2} (thỏa\ mãn)\\ k\neq -3 \end{matrix}\right.$

Vậy $m=\dfrac{1}{2}$ và $k \ne -3$ thì hai đồ thị trên song song.

c) Hai đường thẳng trùng nhau:

  $(d_{1})$ $\equiv$  $(d_{2}) \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} a=a' \\ b=b' \end{matrix} \right.$

                       $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2m+1\\ 3k= 2k-3 \end{matrix}\right.$

                       $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2-1=2m\\ 3-2k= -3 \end{matrix}\right.$

                       $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m=1 \\ k=-3 \end{matrix}\right.$

                       $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=\dfrac{1}{2}(tm) \\ k= -3 \end{matrix}\right.$

Vậy $m=\dfrac{1}{2}$ và $k=-3$ thì đồ thị hai hàm số trên trùng nhau.

loigiaihay.com