Bài 23 trang 58 SBT Hình học 12 Nâng cao

LG 1

Tính thể tích của hình tròn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật ABCD quanh \(\Delta \).

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu O, O’ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AB, CD với \(\Delta \).

Gọi V là thể tích cần tìm, V₂ là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhật OBCO’ quanh \(\Delta \) ( với OA < OB) hoặc hình tạo nên khi quay hình chữ nhật OADO’ quanh \(\Delta \) (với OA > OB);

V₁ là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhật OADO’ quanh \(\Delta \) ( với OA < OB) hoặc hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhật OBCO’ quanh \(\Delta \) ( với OA > OB). Khi đó V = V₂ - V₁.

Từ đó, với OA < OB thì

\(V = \pi O{B^2}.BC - \pi O{A^2}.AD\)

\(= 2a\pi \left[ {{{(x + a)}^2} - {x^2}} \right] \)

\(= 2{a^2}\pi (2x + a)\)

và với OA > OB thì

\(V = \pi O{A^2}.AD - \pi O{B^2}.BC \)

\(= 2a\pi \left[ {{x^2}-{{(x - a)}^2} } \right] \)

\(= 2{a^2}\pi (2x - a)\)

LG 2

Xác định x để thể tích nói trên gấp ba lần thể tích hình cầu có bán kính bằng cạnh AB.

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối cầu bán kính bằng AB là \({4 \over 3}\pi {a^3}\).

Theo giả thiết ta có

\(4\pi {a^3} = 2\pi {a^2}(2x + a)\)  (với OA < OB)

Hoặc \(4\pi {a^3} = 2\pi {a^2}(2x - a)\) ( với OA > OB).

Từ đó \(x = {a \over 2}\) ( với OA < OB) hoặc \(x = {{3a} \over 2}\) ( với OA > OB).

Loigiaihay.com