Bài 26 trang 59 SBT Hình học 12 Nâng cao

Giải bài 26 trang 59 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ ...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, cạnh bên \({{5a} \over 2}\); chiều cao hình lăng trụ bằng h.

LG 1

Chứng minh rằng có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

Lời giải chi tiết:

Vì hình lăng trụ đã cho là hình lăng trụ đứng nên chỉ cần chứng minh đáy ABCD có đường tròn nội tiếp.

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \({\rm{IJ}} \bot AB,IJ \bot CD.\) Gọi O là trung điểm của IJ thì \(OI = {\rm{OJ}} = {{{\rm{IJ}}} \over 2}.\) Kẻ \(BH \bot CD.\)

Ta có \({\rm{IJ}} = BH = \sqrt {B{C^2} - H{C^2}} \)

\( = \sqrt {{{25{a^2}} \over 4} - {{\left( {2a - {a \over 2}} \right)}^2}}  = 2a.\)

Vậy OI = OJ = a.

Mặt khác \(O{B^2} = O{I^2} + I{B^2}\)

\(\eqalign{  & \;\;\;\;\;\;\;\; = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4},  \cr  & O{C^2} = {\rm{O}}{{\rm{J}}^2} + J{C^2}  \cr  &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;= {a^2} + 4{a^2} = 5{a^2}, \cr} \)

từ đó ta có \(B{C^2} = O{B^2} + O{C^2}.\)

Kẻ đường cao OK của tam giác vuông OBC thì OK.BC = OB.OC, suy ra

\(OK = {{{{a\sqrt 5 } \over 2}.a\sqrt 5 } \over {{{5a} \over 2}}} = a.\)

Vậy O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang cân ABCD.

Vậy hình trụ có trục OO’ ( O, O’ là tâm hai đường tròn đáy) và bán kính đáy bằng a chính là hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

LG 2

Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đó.

Lời giải chi tiết:

Diện tích toàn phần của hình trụ đó là

\(S = 2\pi {a^2} + 2\pi ah = 2\pi a(a + h)\)

Và thể tích hình trụ đó là

\(V = \pi {a^2}h.\)

Chú ý. Có thể giải thích ABCD có đường tròn nội tiếp bởi điều kiện

AB + CD = BC + AD.

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài