Bài 2 trang 97 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình tứ diện $ABCD$

a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.$

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện $ABCD$ có $AB ⊥ CD$ và $AC ⊥ DB$ thì $AD ⊥ BC$.

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).$

Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}$

$= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right)$ $+ \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right)$ $+ \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ $+ \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$ $+ \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}$

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}$ $+ \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ $+ \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$

$=  0  +  0  +  0  = 0$

b) $AB ⊥ CD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0,$

    $AC ⊥ DB \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0$

Từ đẳng thức câu a ta có:

$\Rightarrow\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AD ⊥ BC$.

Loigiaihay.com