Bài 2 trang 63 SGK Hình học lớp 11

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy một điểm $M$. Cho $(α)$ là mặt phẳng qua $M$, song song với hai đường thẳng $AC$ và $BD$

a) Tìm giao tuyến của $(α)$ với các mặt tứ diện

b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $(α)$ là hình gì?

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+ $(α) // AC$

⇒ Giao tuyến của $(α)$ và $(ABC)$ là đường thẳng song song với $AC.$

Mà $M ∈ (ABC) ∩ (α).$

$⇒ (ABC) ∩ (α) = MN$ là đường thẳng qua $M,$ song song với $AC (N ∈ BC).$

+ Tương tự $(α) ∩ (ABD) = MQ$ là đường thẳng qua $M$ song song với $BD (Q ∈ AD).$

+ $(α) ∩ (BCD) = NP$ là đường thẳng qua $N$ song song với $BD (P ∈ CD).$

+ $(α) ∩ (ACD) = QP.$

b) Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ\\ \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\\ \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = PQ\\ \left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PN \end{array} \right.$ nên thiết diện là tứ giác $MNPQ.$

$\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = PQ\\ AC//\left( \alpha \right)\\ AC \subset \left( {ACD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow PQ//AC$.

Mà $MN//AC$ (câu a) nên $MN//PQ.$

Lại có: $MQ//BD, NP//BD$ (câu a) nên $MQ//NP.$

Tứ giác $MNPQ$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Loigiaihay.com