Bài 2 trang 59 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$ và ba điểm $P, Q, R$ lần lượt trên ba cạnh $AB, CD, BC$. Tìm giao điểm $S$ của $AD$ và mặt phẳng $(PQR)$ trong hai trường hợp sau đây.

a) $PR$ song song với $AC$

b) $PR$ cắt $AC$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = PR\\\left( {ADC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = d\\AC//PR\end{array} \right.$ $\Rightarrow AC//PR//d$.

Mà $Q \in CD \subset \left( {ADC} \right)$ và $Q \in \left( {PRQ} \right)$ nên $Q \in d$ hay $d$ là đường thẳng đi qua $Q$ và song song $AC$.

Trong $\left( {ADC} \right)$, qua $Q$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AD$ tại $S$.

Vậy $S = AD \cap \left( {PQR} \right)$.

Cách khác:

Có thể sử dụng hệ quả sau: "Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó".

mp $(PQR)$ và mp $(ACD)$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song $PR // AC$.

$\Rightarrow \left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt$ là đường thẳng song song với $AC$ và $PR$.

Gọi $Qt \cap AD = S$

$\Rightarrow {\rm{ }}S = AD \cap \left( {PQR} \right).$.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $PR$ với $AC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = PR\\\left( {ADC} \right) \cap \left( {PRQ} \right) = d\\AC \cap PR = \left\{ I \right\}\end{array} \right.$ $\Rightarrow AC,PR,d$ đồng quy tại $I$.

Trong $\left( {ADC} \right)$, kéo dài $IQ$ cắt $AD$ tại $S$.

Khi đó $S \in AD$ và $S \in \left( {PQR} \right)$ nên $S = AD \cap \left( {PQR} \right)$.

Loigiaihay.com