Bài 2 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao

LG a

 $a=b\cos C+c \cos B ;$

Lời giải chi tiết:

Ta có $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}$.

Bằng cách nhân hai vế với $\overrightarrow {BC}$, ta được:

$\begin{array}{l}{\overrightarrow {BC} ^2} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  \\    \Leftrightarrow   {a^2} = ca\cos B + ba\cos C\\                                                       \Leftrightarrow a = b\cos C + c\cos B.\end{array}$

LG b

 $\sin A= \sin B \cos C+ \sin C \cos B ;$

Lời giải chi tiết:

 Thay $a=2R \sin A,$ $b=2R \sin B,$ $c=2R \sin C$ vào công thức cuối câu a), ta được điều cần chứng minh.

LG c

${h_a} = 2R\sin B\sin C$ ;

Lời giải chi tiết:

Ta có $a.{h_a} = 2S =  \dfrac{{ab}}{{2R}}$

$=  \dfrac{{a.2R\sin B.2R\sin C}}{{2R}}$

$\Leftrightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C$.

LG d

$bc({b^2} - {c^2})\cos A + ca({c^2} - {a^2})\cos B$ $+ ab({a^2} - {b^2})\cos C = 0$

Lời giải chi tiết:

 Chú ý rằng $2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - {a^2}$ và từ các công thức tương tự, ta có:

$\begin{array}{l}bc({b^2} - {c^2})\cos A + ca({c^2} - {a^2})\cos B + ab({a^2} - {b^2})\cos C\\ =  \dfrac{1}{2}\left[ {({b^2} - {c^2})({b^2} + {c^2} - {a^2}) + ({c^2} - {a^2})({c^2} + {a^2} - {b^2}) + ({a^2} - {b^2})({a^2} + {b^2} - {c^2})} \right] = 0.\end{array}$

LG e

Nếu $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ thì:

$B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2}$ $= A{B^2} + H{C^2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2} \\   \Leftrightarrow   {\overrightarrow {BC} ^2} - {\overrightarrow {CA} ^2} = {\overrightarrow {BH} ^2} - {\overrightarrow {HA} ^2}\\\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {CA} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HA} } \right)\left( {\overrightarrow {BH}  - \overrightarrow {HA} } \right)\\\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left( {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {CA} } \right) \\= \overrightarrow {BA} \left( {\overrightarrow {BH}  - \overrightarrow {HA} } \right).                                        (*)\end{array}$

Nếu ta gọi $C’$ là chân đường cao hạ từ $C$ của tam giác $ABC$ thì vec tơ $\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {CA}$ và vec tơ $\overrightarrow {BH}  - \overrightarrow {HA}$ có hình chiếu trên đường thẳng $BA$ đều là $\overrightarrow {BC'}  - \overrightarrow {C'A}$. Vậy đẳng thức (*) được chứng minh và do đó

$B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2}$.

Đẳng thức còn lại chứng minh tương tự.

Loigiaihay.com