Bài 2 trang 119 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $H, K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $ABC$ và $SBC$.

a) Chứng minh ba đường thẳng $AH, SK, BC$ đồng quy.

b) Chứng minh rằng $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(BHK)$ và $HK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.

c) Xác định đường vuông góc chung của $BC$ và $SA$.

Lời giải chi tiết

a) Trong $(ABC)$, gọi $E = AH ∩ BC$.

$H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $AE\bot BC$   (1)

$SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC$                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC ⊥ (SAE)$$\Rightarrow BC ⊥ SE$.

$K$ là trực tâm của tam giác $SBC\Rightarrow SE$ đi qua $K$ $\Rightarrow AH, BC, SK$ đồng quy tại $E$.

b) Trong $(ABC)$ gọi $F = BH ∩ AC$, trong $(SBC)$ gọi $D = BK ∩ SC$. Khi đó $(BHK) \equiv (BDF)$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} BF \bot AC\\ BF \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right.  \Rightarrow BF \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow BF \bot SC$

$\left\{ \begin{array}{l} SC \bot BF\\ SC \bot BD \end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BDF} \right) \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right)$

Ta có: 

$\begin{array}{l} SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\\ BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\ \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \end{array}$

Cách khác:

Có thể chứng minh $HK \bot \left( {SBC} \right)$ như sau:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} SC \bot \left( {BHK} \right)\\ SC \subset \left( {SBC} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} BC \bot \left( {SAE} \right)\\ BC \subset \left( {SBC} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAE} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {SBC} \right) \bot \left( {BHK} \right)\\ \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAE} \right)\\ \left( {BHK} \right) \cap \left( {SAE} \right) = HK \end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \end{array}$

c) $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AE \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE$ là đường vuông góc chung của $BC$ và $SA$.

Loigiaihay.com