Bài 19 trang 8 SBT Hình học 12 Nâng cao

Giải bài 19 trang 8 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hai hình tứ diện ABCD ...

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng song song: \(AB//A'B',AC//A'C',AD//A'D',\) \(CB//C'B',BD//B'D',DC//D'C'.\) Chứng minh rằng hai tứ diện nói trên đồng dạng.

Lời giải chi tiết

Vì \(AB//A'B'\) nên có số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {A'B'} \). Ta chứng minh rằng khi đó, ta cũng có \(\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AD}  = k\overrightarrow {A'D'} ,\overrightarrow {CB}  = k\overrightarrow {C'B'} ,\)

\(BD = k\overrightarrow {B'D'} ,\overrightarrow {DC}  = k\overrightarrow {D'C'} .\)

Thật vậy, hai tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh tương ứng song song nên ta phải có các số l và m sao cho \(\overrightarrow {AC}  = l\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {CB}  = m\overrightarrow {C'B'} \). Khi đó :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {A'B'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  = k\left( {\overrightarrow {A'C'}  - \overrightarrow {B'C'} } \right)  \cr  &  \Leftrightarrow l\overrightarrow {A'C'}  - m\overrightarrow {B'C'}  = k\overrightarrow {A'C'}  - k\overrightarrow {B'C'}   \cr  &  \Leftrightarrow \left( {l - k} \right)\overrightarrow {A'C'}  = \left( {m - k} \right)\overrightarrow {B'C'} . \cr} \)

Vì hai vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(l - k = m - k = 0\), tức là l=m=k, vậy \(\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BC}  = k\overrightarrow {B'C'} \).

Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.

Xét trường hợp \(k = 1\). Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {B'C'} ,...\)nên

\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = ...\)

Suy ra phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {AA'} \) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Nếu \(k \ne 1\) thì hai đường thẳng AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm O nào đó.

Khi đó, rõ ràng phép vị tự V tâm O tỉ số \({1 \over k}\) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Vậy trong cả hai trường hợp nói trên, hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài