Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

${z^2} = z + 1$;

Phương pháp giải:

Tính $\Delta$ và sử dụng công thức nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có ${z^2} = z + 1$ $\Leftrightarrow {z^2} - z = 1$ $\Leftrightarrow {z^2} - z + {1 \over 4} = {5 \over 4}$

$\Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4}$ $\Leftrightarrow z - {1 \over 2} =  \pm {{\sqrt 5 } \over 2}$ $\Leftrightarrow z = {1 \over 2} \pm {{\sqrt 5 } \over 2}$

Cách khác:

${z^2} = z + 1$ $\Leftrightarrow {z^2} - z - 1=0$

Ta có: $\Delta  = {1^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 5 > 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${z_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$.

LG b

${z^2} + 2z + 5 = 0$

Lời giải chi tiết:

${z^2} + 2z + 5 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} =  - 4 = {\left( {2i} \right)^2}$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{  z + 1 = 2i \hfill \cr  z + 1 =  - 2i \hfill \cr}  \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{  z =  - 1 + 2i \hfill \cr  z =  - 1 - 2i \hfill \cr}  \right.$

Vậy $S = \left\{ { - 1 + 2i; - 1 - 2i} \right\}$

Cách khác:

Ta có: $\Delta'  = {1^2} - 1.5 = -4 < 0$ có một căn bậc hai là $2i$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phức ${z_{1,2}} = -1\pm 2i$.

LG c

${z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

${z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0$ có biệt thức

$\Delta  = {\left( {1 - 3i} \right)^2} + 8\left( {1 + i} \right)$ $= 1 - 9 - 6i + 8 + 8i = 2i = {\left( {1 + i} \right)^2}$

Do đó phương trình có hai nghiệm là: ${z_1} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i + \left( {1 + i} \right)} \right] = 2i$

${z_2} = {1 \over 2}\left[ { - 1 + 3i - \left( {1 + i} \right)} \right] =  - 1 + i$

Vậy $S = \left\{ {2i; - 1 + i} \right\}$

Loigiaihay.com