Bài 21 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Giải phương trình: $\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp giải phương trình tích 

$AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 0 \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Nhận xét:

${\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i - 1 =  - 2i$ $\Rightarrow \frac{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{2} =  - i$ $\Rightarrow {\left( {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} =  - i$

Suy ra $–i$ có căn bậc hai $\pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}}$

Ta có $\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{  {z^2} + i = 0 \hfill \cr  {z^2} - 2iz - 1 = 0 \hfill \cr}  \right.$

* ${z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - i$ $\Leftrightarrow z =  \pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}}$

* ${z^2} - 2iz - 1 = 0$ $\Leftrightarrow {z^2} - 2iz + {i^2} = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} = 0$ $\Leftrightarrow z = i$

Vậy $S = \left\{ {i;\pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} } \right\}$

LG b

Tìm số phức B để phương trình bậc hai ${z^2} + Bz + 3i = 0$ có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Viet 

$\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = - \frac{B}{A}\\ {z_1}{z_2} = \frac{C}{A} \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình

Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: ${z_1}^2 + {z_2}^2 = 8$

Theo định lí Vi-et ta có: 

$\left\{ \matrix{ {z_1} + {z_2} = - B \hfill \cr  {z_1}.{z_2} = 3i \hfill \cr} \right.$

$\eqalign{ & {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8 \cr &\Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8 \cr  & \Leftrightarrow {\left( { - B} \right)^2} - 2.3i = 8 \cr  & \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i \cr  & \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2} \cr  & \Leftrightarrow {B^2} = {\left( {3 + i} \right)^2} \cr  & \Leftrightarrow B = \pm \left( {3 + i} \right) \cr}$

  Loigiaihay.com