Bài 26 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực $\varphi$, ta có  ${\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2} = \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi$.

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức $\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi$. Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

Lời giải chi tiết:

Với mọi $\varphi$ ta có:

${\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2}$

$= {\cos ^2}\varphi  + {i^2}{\sin ^2}\varphi  + 2\cos \varphi .i\sin \varphi$

$= {\cos ^2}\varphi  - {\sin ^2}\varphi  + \left( {2\sin \varphi \cos \varphi } \right)i$

$= \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi$

Vậy các căn bậc hai của $\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi$ là $\pm \left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$

Cách đã biết:

Gọi $w=x+yi$ là một căn bậc hai của $\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi$.

Khi đó:

$\begin{array}{l} {w^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\ \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\ \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = \cos 2\varphi \\ 2xy = \sin 2\varphi \end{array} \right. \end{array}$

Rõ ràng hệ có các nghiệm $\left( {\cos \varphi ,\sin \varphi } \right),\left( { - \cos \varphi , - \sin \varphi } \right)$.

Do đó$\pm \left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$ là hai căn bậc hai của$\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi$.

=> Cách làm đầu tiên thuận tiện và dễ làm hơn cách thứ hai rất nhiều.

LG b

Tìm các căn bậc hai của ${{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)$ bằng hai cách nói ở câu a).

Lời giải chi tiết:

${{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)  = \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$

$= \cos {\pi  \over 4} - i\sin {\pi  \over 4}$ $= \cos \left( { - {\pi  \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 4}} \right)$.

Theo câu a) ${{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)$ có hai căn bậc hai là:

$\pm \left( {\cos \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right) + i\sin \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right)} \right)$ $=  \pm \left( {\cos {\pi  \over 8} - i\sin {\pi  \over 8}} \right)$

Mà

$\eqalign{  & \cos {\pi  \over 8} = \sqrt {{{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2}}  \cr & = \sqrt {{{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }   \cr  & \sin {\pi  \over 8} = \sqrt {{{1 - \cos {\pi  \over 4}} \over 2}}  \cr & = \sqrt {{{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 }  \cr}$

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là $\pm {1 \over 2}\left( {\sqrt {2 + \sqrt 2 }  - i\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)$

Cách 2, việc tìm các căn bậc hai của${{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)$ đưa về việc giải hệ phương trình$\left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} = {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr  2xy =  - {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr}  \right.$

Hệ đó tương đương với $\left\{ \matrix{  8{x^4} - 4\sqrt 2 {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr  y =  - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr}  \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} = {{\sqrt 2  + 2} \over 4} \hfill \cr  y =  - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr}  \right.$

Nên có các nghiệm là: $\left( {{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{ - \sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right),$ $\left( {{{ - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right)$

Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.

 Loigiaihay.com