Bài 24 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

${z^3} + 1 = 0$;

Phương pháp giải:

Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa về giải phương trình tích.

$AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 0 \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

${z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0$

Nghiệm của $z + 1 = 0$ là ${z_1} =  - 1$

${z^2} - z + 1 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} =  - {3 \over 4} = {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}$              

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_2} \hfill \cr  z = {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_3} \hfill \cr}  \right.$

Vậy $S = \left\{ { - 1;{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i;{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right\}$

LG b

${z^4} - 1 = 0$;

Phương pháp giải:

Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa về giải phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

${z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{  {z^2} - 1 = 0 \hfill \cr  {z^2} + 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z =  \pm 1 \hfill \cr  z =  \pm i \hfill \cr}  \right.$

Phương trình có 4 nghiệm ${z_1} = i,{z_2} =  - i,{z_3} = 1,{z_4} =  - 1$

LG c

${z^4} + 4 = 0$

Phương pháp giải:

Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa về giải phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

${z^4} + 4 = 0$ $\Leftrightarrow {z^4} - {\left( {2i} \right)^2} = 0$ $\Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2i} \right)\left( {{z^2} - 2i} \right) = 0$

Nghiệm của ${z^2} + 2i = 0$ là các căn bậc hai của -2i, đó là ${z_1} = 1 - i$,${z_2} =  - 1 + i$

(Do ${\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i - 1 =  - 2i$)

Nghiệm của ${z^2} - 2i = 0$ là các căn bậc hai của 2i, đó là ${z_3} = 1 + i$,${z_4} =  - 1 - i$

(Do ${\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i - 1 =   2i$)

Vậy ${z^4} + 4 = 0$ có bốn nghiệm ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$.

LG d

$8{z^4} + 8{z^3} = z + 1$.

Phương pháp giải:

Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa về giải phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

$8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0$

Nghiệm của $z + 1 = 0$ là ${z_1} =  - 1$

Nghiệm của $2z - 1 = 0$ là ${z_2} = {1 \over 2}$

Phương trình $4{z^2} + 2z + 1 = 0$ có $\Delta ' = 1 - 4 =  - 3$ nên có nghiệm là ${z_3} =  - {1 \over 4} + {{\sqrt 3 } \over 4}i$ và ${z_4} =  - {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 4}i$

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$

 Loigiaihay.com