Bài 20 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Tính tổng, tích các nghiệm dựa vào công thức nghiệm $z _{1,2}= {{ - B \pm \delta } \over {2A}}$

Lời giải chi tiết:

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai $A{z^2} + Bz + C = 0$ là

$z_{1,2}  = {{ - B \pm \delta } \over {2A}}\left( {{\delta ^2} = {B^2} - 4AC} \right)$

Do đó:

${z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - B + \delta }}{{2A}} + \dfrac{{ - B - \delta }}{{2A}}$ $= \dfrac{{ - 2B}}{{2A}} =  - \dfrac{B}{A}$

${z_1}{z_2} = \dfrac{{ - B + \delta }}{{2A}}.\dfrac{{ - B - \delta }}{{2A}}$ $= \dfrac{{{{\left( { - B} \right)}^2} - {\delta ^2}}}{{4{A^2}}}$ $= \dfrac{{{B^2} - \left( {{B^2} - 4AC} \right)}}{{4{A^2}}}$ $= \dfrac{{4AC}}{{4{A^2}}} = \dfrac{C}{A}$

Do đó 

$\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\ {z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A} \end{array} \right.$

Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.

LG b

Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng $4 – i$ và tích của chúng bằng $5(1 – i)$

Phương pháp giải:

Giả sử ${z_1} + {z_2} = \alpha$; ${z_1}{z_2} = \beta$.

Chứng minh ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phương trình: ${z^2} - \alpha z + \beta  = 0$

Lời giải chi tiết:

Giả sử ${z_1} + {z_2} = \alpha$; ${z_1}{z_2} = \beta$

${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phương trình:

$\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow {z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2} = 0$ $\Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta  = 0$

Theo đề bài ${z_1} + {z_2} = 4 - i$; ${z_1}{z_2} = 5\left( {1 - i} \right)\,\,$

nên ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phương trình

${z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0$ (*)

$\Delta  = {\left( {4 - i} \right)^2} - 20\left( {1 - i} \right)$ $= 16 - 1 - 8i - 20 + 20i =  - 5 + 12i$

Giả sử ${\left( {x + yi} \right)^2} =  - 5 + 12i$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} =  - 5 \hfill \cr  2xy = 12 \hfill \cr}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} - {{36} \over {{x^2}}} =  - 5 \hfill \cr  y = {6 \over x} \hfill \cr}  \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^4} + 5{x^2} - 36 = 0 \hfill \cr  y = {6 \over x} \hfill \cr}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 2 \hfill \cr  y = 3 \hfill \cr}  \right.\,\text{ hoặc }\left\{ \matrix{  x =  - 2 \hfill \cr  y =  - 3 \hfill \cr}  \right.$

Vậy $\Delta$ có hai căn bậc hai là $\pm \left( {2 + 3i} \right)$.

Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:

${z_1} = {1 \over 2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i$

${z_2} = {1 \over 2}\left[ {4 - i - \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 1 - 2i$

LG c

Có phải mọi phương trình bậc hai ${z^2} + Bz + C = 0$ ($B, C$ là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số $B, C$ là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải chi tiết:

Nếu phương trình ${z^2} + Bz + C = 0$ có hai nghiệm ${z_1},{z_2}$ là hai số phức liên hợp, ${z_2} = \overline {{z_1}}$, thì theo công thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - B\\{z_1}{z_2} = C\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + \overline {{z_1}} = - B\\{z_1}.\overline {{z_1}} = C\end{array} \right.$

Mà ${z_1} = x + yi \Rightarrow \overline {{z_1}}  = x - yi$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {z_1} + \overline {{z_1}}  = 2x \in \mathbb{R}\\{z_1}.\overline {{z_1}}  = {x^2} + {y^2} \in \mathbb{R}\end{array}$

Do đó B, C thực.

Điều ngược lại không đúng vì nếu $B, C$ thực thì $\Delta  = {B^2} - 4AC > 0$ hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi $\Delta  \le 0$ thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).

Ví dụ: Phương trình $z^2+2z-3=0$ có nghiệm là z = 1; z =-3.

 Loigiaihay.com