Bài 20 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Tính tổng, tích các nghiệm dựa vào công thức nghiệm z1,2=B±δ2A

Lời giải chi tiết:

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Az2+Bz+C=0

z1,2=B±δ2A(δ2=B24AC)

Do đó:

z1+z2=B+δ2A+Bδ2A =2B2A=BA

z1z2=B+δ2A.Bδ2A =(B)2δ24A2 =B2(B24AC)4A2 =4AC4A2=CA

Do đó 

{z1+z2=BAz1z2=CA

Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.

LG b

Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4i và tích của chúng bằng 5(1i)

Phương pháp giải:

Giả sử z1+z2=α; z1z2=β.

Chứng minh z1,z2 là hai nghiệm phương trình: z2αz+β=0

Lời giải chi tiết:

Giả sử z1+z2=α; z1z2=β

z1,z2 là hai nghiệm phương trình:

(zz1)(zz2)=0 z2(z1+z2)z+z1z2=0 z2αz+β=0

Theo đề bài z1+z2=4i; z1z2=5(1i)

nên z1,z2 là hai nghiệm phương trình

z2(4i)z+5(1i)=0 (*)

Δ=(4i)220(1i) =1618i20+20i=5+12i

Giả sử (x+yi)2=5+12i {x2y2=52xy=12

{x236x2=5y=6x {x4+5x236=0y=6x

{x=2y=3 hoặc {x=2y=3

Vậy Δ có hai căn bậc hai là ±(2+3i).

Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:

z1=12[4i+(2+3i)]=3+i

z2=12[4i(2+3i)]=12i

LG c

Có phải mọi phương trình bậc hai z2+Bz+C=0 (B,C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B,C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải chi tiết:

Nếu phương trình z2+Bz+C=0 có hai nghiệm z1,z2 là hai số phức liên hợp, z2=¯z1, thì theo công thức Vi-ét:

{z1+z2=Bz1z2=C{z1+¯z1=Bz1.¯z1=C

z1=x+yi¯z1=xyi

z1+¯z1=2xRz1.¯z1=x2+y2R

Do đó B, C thực.

Điều ngược lại không đúng vì nếu B,C thực thì Δ=B24AC>0 hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi Δ0 thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).

Ví dụ: Phương trình z2+2z3=0 có nghiệm là z = 1; z =-3.

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

close