Bài 109 trang 123 SBT Hình học 10 Nâng caoGiải bài tập Bài 109 trang 123 SBT Hình học 10 Nâng cao Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho parabol \((P):\,{y^2} = 2px\,\,(p > 0)\). LG a Tìm độ dài của dây cung vuông góc với trục đối xứng của \((P)\) tại tiêu điểm \(F\) của \((P)\). Lời giải chi tiết: (h.134).
Gọi \(M , N\) là các giao điểm của \((P)\) và đường thẳng vuông góc với \(Ox\) tại \(F\). Khi đó, toạ độ của \(M, N\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{p}{2}\\{y^2} = 2px\end{array} \right.\) Hệ có hai nghiệm là \(\left( { \dfrac{p}{2} ; p} \right) , \left( { \dfrac{p}{2} ; - p} \right)\). Vậy \(MN = |{y_M}| + |{y_N}| = 2p\). LG b \(A\) là một điểm cố định trên \((P)\). Một góc vuông \(uAt\) quay quanh đỉnh \(A\) có các cạnh cắt \((P)\) tại \(B\) và \(C\). Chứng minh rằng đường thẳng \(BC\) luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải chi tiết: (h.135).
Giả sử \(A = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} ; a} \right) ,\) \( B = \left( { \dfrac{{{b^2}}}{{2p}} ; b} \right) , \) \( C = \left( { \dfrac{{{c^2}}}{{2p}} ; c} \right)\). Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(\begin{array}{l}2px - (b + c)y + bc = 0. (1)\\\overrightarrow {AB} = \left( { \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2p}} ; b - a} \right) ,\\\overrightarrow {AC} = \left( { \dfrac{{{c^2} - {a^2}}}{{2p}} ; c - a} \right).\\\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 0 \\ \Leftrightarrow ({b^2} - {a^2})({c^2} - {a^2})\\ + 4{p^2}(b - a)(c - a) = 0\\ \Leftrightarrow (b + a)(c + a) + 4{p^2} = 0\\ \Leftrightarrow bc + a(b + c) + {a^2} + 4{p^2} = 0. (2)\end{array}\) Rút \(bc\) từ (2) thay vào (1), ta được phương trình của \(BC\) là \(2px - {a^2} - 4{p^2} - (b + c)(y + a) = 0\) (3) Dễ thấy đường thẳng \(BC\) có dạng (3) luôn đi qua điểm cố định \(M = \left( { \dfrac{{{a^2}}}{{2p}} + 2p ; - a} \right)\). Loigiaihay.com
Quảng cáo
|