Câu hỏi 4 trang 101 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tính tổng số các hạt thóc ở $11$ ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_2} = 2\\ {u_3} = {2^2}\\ ...\\ {u_{11}} = {2^{10}} \end{array}$

$\Rightarrow S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}$ $= 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{10}}$

$\Rightarrow 2S = 2 + {2^2} + ... + {2^{10}} + {2^{11}}$

$\Rightarrow 2S - S = \left( {2 + {2^2} + ... + {2^{10}} + {2^{11}}} \right)$ $- \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{10}}} \right)$

$\Rightarrow S = {2^{11}} - 1  = 2047$

Cách tổng quát:

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}} {S{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_2}\; + {\rm{ }}{u_3}\; + {\rm{ }}{u_4}\; + {\rm{ }}{u_5}\; + {\rm{ }}{u_6}\; + {\rm{ }}{u_7}\; + {\rm{ }}{u_8}\; + {\rm{ }}{u_9}\; + {\rm{ }}{u_{10}}\; + {\rm{ }}{u_{11}}}\\ { = {\rm{ }}{u_1}\; + {\rm{ }}{u_1}.q{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}.{q^2}\; + \cdots + {\rm{ }}{u_1}.{q^9}\; + {\rm{ }}{u_1}.{q^{10}}\;\left( 1 \right)}\\ { \Rightarrow \;S.q{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_1}.q{\rm{ }} + {\rm{ }}{u_1}.{q^2}\; + \cdots + {\rm{ }}{u_1}.{q^9}\; + {\rm{ }}{u_1}.{q^{10}}\; + {\rm{ }}{u_1}.{q^{11}}\;\left( 2 \right)} \end{array}$

Lấy (1) trừ (2), ta được:

$\left( {1 - q} \right)S = {u_1}\left( {1 - {q^{11}}} \right)$

$\Rightarrow S = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{11}}} \right)}}{{1 - q}}$

Do đó tổng số hạt thóc của 11 ô đầu là $S = \frac{{1\left( {1 - {2^{11}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{11}} - 1 = 2047$

Loigiaihay.com