Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Cùng khám phá

1. Khái niệm nguyên hàm

Chú ý:

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + với C thuộc R là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu \(\int {f(x)dx}  = F(x) + C\).

Ví dụ: Chứng minh \(\int {kdx}  = kx + C\) với k là hằng số khác 0.

Giải:

Ta có \((kx)' = k\) nên \(F(x) = kx\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = k\).

Vậy \(\int {kdx}  = kx + C\).

Nhận xét:

Ta có \(\int {0dx}  = C\), \(\int {dx}  = \int {1dx}  = x + C\).

2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Ví dụ:

a) \(\int {{x^5}dx}  = \frac{1}{6}{x^6} + C\).

b) \(\int {{x^{\sqrt 2 }}dx}  = \frac{1}{{\sqrt 2  + 1}}{x^{\sqrt 2  + 1}} + C\).

c) \(\int {{x^{ - 1}}dx}  = \int {\frac{1}{x}dx = } \ln \left| x \right| + C\).

Nguyên hàm của hàm số mũ

Ví dụ:

a) \(\int {{4^x}dx}  = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\).

b) \(\int {{e^{3x}}dx}  = \int {{{\left( {{e^3}} \right)}^x}dx}  = \frac{{{{\left( {{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln {e^3}}} + C = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\).

c) \(\int {{2^x}{{.3}^x}dx}  = \int {{6^x}dx}  = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\).

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ:

a) \(\int {(1 + {{\tan }^2}x)dx}  = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C\).

b) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx, biết \(F(2\pi ) = 0\).

Ta có \(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C\).

F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx nên có dạng F(x) = -cosx + C.

Vì \(F(2\pi ) = 0\) nên \( - \cos 2\pi  + C = 0\) hay \( - 1 + C = 0\), suy ra C = 1.

Vậy F(x) = 1 – cosx.

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Ví dụ:

a) \(\int {6{x^3}dx}  = 6\int {{x^3}dx}  = 6.\frac{{{x^4}}}{4} + C = \frac{3}{2}{x^4} + C\).

b) \(\int {(3{x^2} - \cos x)dx}  = 3\int {{x^2}dx}  - \int {\cos xdx}  = {x^3} - \sin x + C\).

c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\cos }^2}x}} - {5^x}} \right)dx}  = 2\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  - \int {{5^x}dx}  = 2\tan x - \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\).