Lý thuyết Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cánh Diều

Cho các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$. Khi đó, ta có:

• \(\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } \) (k là hằng số).
• \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} } \).
• \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} } \).
• \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } \) (a < c < b).

Với \(\alpha  \ne  - 1\), ta có:

\(\int\limits_a^b {{x^\alpha }dx}  = \left. {\frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}} \right|_a^b = \frac{{{b^{\alpha  + 1}} - {a^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}\).

Với hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ta có:

• \(\int\limits_a^b {\sin xdx =  - \cos x_a^b}  =  - \cos b - ( - \cos a) = \cos a - \cos b\).
• \(\int\limits_a^b {\cos xdx = \left. {\sin x} \right|_a^b}  = \sin b - \sin a\).
• \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \left. { - \cot x} \right|_a^b}  =  - \cot b - ( - \cot a) = \cot a - \cot b\).
• \(\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \left. {\tan x} \right|_a^b}  = \tan b - \tan a\).

Với \(a > 0,a \ne 1\), ta có:

\(\int\limits_\alpha ^\beta  {{a^x}dx}  = \left. {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right|_\alpha ^\beta  = \frac{{{a^\beta } - {a^\alpha }}}{{\ln a}}\).