Lý thuyết lũy thừa

I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Định nghĩa

Cho $n$ là một số nguyên dương.

Với $a$ là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$.

${a^n} = a.a.a.....a$ ($n$ thừa số $a$)

Với $a \ne 0$ thì ${a^0} = 1,{a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}$.

Chú ý

${0^n}$ và ${0^{ - n}}$ không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

2. Căn bậc $n$

a) Định nghĩa

Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu ${a^n} = b$.

b) Chú ý

+) Với $n$ lẻ và $b \in \mathbb{R}$ thì có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$.

+) Với $n$ chẵn và:

$b < 0$ thì không tồn tại căn bậc $n$ của $b$.

$b = 0$ thì có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$ là số $0$.

$b > 0$ thì có hai căn trái dấu, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$ và $- \sqrt[n]{b}$.

c) Tính chất

$\begin{array}{l}\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\\\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}}\\{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\\\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{array}{l}a,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu} \,\,n \,\text{lẻ}\\\left| a \right|,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,n\,\text{chẵn}\end{array} \right.\\\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a}\end{array}$

Ví dụ

$\sqrt[3]{{ - 4}}.\sqrt[3]{{54}} = \sqrt[3]{{\left( { - 4} \right).54}} = \sqrt[3]{{ - 216}} =  - 6$

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r = \dfrac{m}{n}$, trong đó $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$.

Lũy thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số ${a^r}$ xác định bởi

${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

Đặc biệt:  Khi $m=1$: ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

${16^{ - \frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{16}^{ - 3}}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{16}^3}}}}}$ $= \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[4]{{16}}} \right)}^3}}} = \dfrac{1}{{{2^3}}} = \dfrac{1}{8}$

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho $a,b$ là những số thực dương; $\alpha ,\beta$ là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha  + \beta }}\\\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha  - \beta }}\\{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\\{\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }{b^\alpha }\\{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\end{array}$

Nếu $a > 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  > \beta$.

Nếu $a < 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  < \beta$.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: $A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2  + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  - 1}}} \right)}^{\sqrt 3  + 1}}}}$

Ta có:

$\begin{array}{l} A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}} = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 + 1 + 3 - \sqrt 2 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}\\ = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^{3 - 1}}}} = {a^2} \end{array}$

Loigiaihay.com