Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

1. Hoán vị

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n ≥ 1$). Mỗi cách sắp thứ tự của $n$ phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của $n$ phần tử khác nhau đã cho ($n  ≥ 1$) được kí hiệu là $P_n$ và bằng:

$P_n = n(n - 1)(n - 2)...2 . 1 = n!$

Ví dụ:

Tính số cách xếp $6$ bạn học sinh thành một hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cách xếp $6$ bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của $6$ phần tử.

Vậy số cách xếp $6$ bạn học sinh thành một hàng dọc là ${P_6} = 6! = 720$.

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$.

Kết quả của việc lấy $k$ phần tử khác nhau từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $A_n^k$ và bằng

$A_n^k = n(n – 1)…(n – k + 1) =\frac{n!}{(n - k)!}$ $(1 ≤ k ≤ n)$

Với quy ước $0! = 1$.

Ví dụ:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$?

Hướng dẫn:

Mỗi số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy $4$ chữ số từ tập $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$ và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập $4$ của $7$ phần tử.

Vậy số các số cần tìm là $A_7^4 = 840$ số.

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n ≥ 1$). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp $n$ phần tử đã cho ($0 ≤ k ≤ n$) được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập $0$ của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí

Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $C_n^k$ và bằng

$C_n^k  = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ = $\frac{A^k_{n}}{k!}$, ($0 ≤ k ≤ n$)

Ví dụ:

Một bàn học sinh có $3$ nam và $2$ nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra $2$ bạn để làm trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cách chọn ra $2$ bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập $2$ của $5$ phần tử.

Vậy số cách chọn là: $C_5^2 = 10$ (cách)

Định lí

Với mọi $n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n$, ta có:

a) $C_n^k  =  C_n^{n-k}$

b) $C_n^k  +  C_n^{k+1}$ = $C_{n+1}^{k+1}$.

4. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.

- Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

 Loigiaihay.com