Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc

1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

  - Góc giữa hai véctơ trong không gian:

  Góc giữa hai vectơ (khác véctơ không) $\vec{u},\vec{v}$ là góc $\widehat {BAC}$ với $\vec{AB}=\vec{u}$; $\vec{AC}=\vec{v}$

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: 

Cho hai vectơ khác vectơ không $\vec{u},\vec{v}$ :

Biểu thức $\vec{u}.\vec{v}=|\vec{u}|.|\vec{v}|.cos(\vec{u},\vec{v})$ được gọi là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$

Nếu $\vec{u}$ = $\vec{0}$ hoặc $\vec{v}$ = $\vec{0}$ thì ta quy ước $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{0}$.

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. 

  - Vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với $d$.

  - Nếu $\vec{a}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì k$\vec{a}$  ($k ≠ 0$) cũng là vectơ chỉ phương của d.

 3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian. 

  Định nghĩa:

  Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với $a$ và $b$

  Nhận xét:

  - Ta có thể lấy điểm $O$ thuộc một trong hai đường thẳng $a$ và $b$, rồi vẽ một đường thẳng qua $O$ và song song với đường thẳng còn lại.

  - Nếu $\vec{u_{1}},\vec{u_{2}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $a$ và $b$ và ($\vec{u_{1}},\vec{u_{2}}) = α$ thì:

    + góc $(a; b) = α$  nếu $0^0 ≤ α ≤ 90^0$

    + góc $(a; b) = 180^0- α$ nếu $90^0 < α ≤ 180^0$.

- Nếu $a//b$ hoặc $a \equiv b$ thì $\widehat {\left( {a,b} \right)} = {0^0}$

4. Hai đường thẳng vuông góc với nhau.

  a) Định nghĩa:

  Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^0$

  b) Nhận xét:

  - Nếu$\vec{u_{1}},\vec{u_{2}}$ lần lượt là các VTCP của $a$ và $b$ thì: $a ⊥ b ⇔ \vec{u_{1}}.\vec{u_{2}}= 0$.

  - Nếu  $\left\{ \begin{array}{l} a\, //b \, \\ c\, \bot \, a \end{array} \right.$ thì $c\, \bot \, b$

  - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

 c) Một số dạng toán thường gặp 

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cô sin hoặc tỉ số lượng giác.

Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng.

Để tính $\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\left| {\overrightarrow u } \right|,\left| {\overrightarrow v } \right|$ ta chọn ba véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các véc tơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ qua các véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ rồi thực hiện các tính toán.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ vuông góc ta thực hiện một trong các cách:

Cách 1: Chứng minh $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0$, trong đó $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ là các VTCP của ${d_1},{d_2}$.

Cách 2: Sử dụng tính chất $\left\{ \begin{array}{l}b//c\\a \bot c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b$

Cách 3: Sử dụng định lý Pi-ta-go hoặc xác định góc giữa ${d_1},{d_2}$ và tính trực tiếp góc đó.