Câu hỏi 2 trang 94 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$

a) Hãy phân tích các vecto $\overrightarrow {AC'} ;\,\overrightarrow {BD}$  theo ba vecto $\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AD} ;\,\overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}}$

b) Tính cos ($\overrightarrow {AC'} ;\,\overrightarrow {BD}$) và từ đó suy ra $\overrightarrow {AC'} ;\,\overrightarrow {BD}$  vuông góc với nhau

Lời giải chi tiết

$\eqalign{ & a)\, \cr & \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}}\,{\rm{ = }}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}} \cr & \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \cr & b) \cr & \cos (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD} ) = {{\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC'} |.|\overrightarrow {BD} |}} \cr & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} ).(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ) \cr & = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} ).\overrightarrow {AD} - (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} ).\overrightarrow {AB} \cr & = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {{\rm{AA'}}} .\overrightarrow {AB}(1) \cr}$

Hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ nên $AB, AD, AA’$ đôi một vuông góc với nhau

$\eqalign{ & (1) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {A{D}}^2 + \overrightarrow 0 - \overrightarrow {A{B}}^2 - \overrightarrow 0 - \overrightarrow 0 = 0\,\,(AB = AD) \cr & \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD} ) = {{\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC'} |.|\overrightarrow {BD} |}} = 0 \cr & \Rightarrow (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD} ) = {90^0} \cr}$

Vậy hai vecto trên vuông góc với nhau.

Loigiaihay.com