Lý thuyết đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau.

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ví dụ:

Hai đường thẳng $y=3x+1$ và $y=3x-6$ có hệ số $a=a'(=3)$ và $b\ne b'$ $(1\ne -6)$ nên chúng song song với nhau.

Hai đường thẳng $y=3x+1$ và $y=3x+1$ có hệ số $a=a'(=3)$ và $b= b'(=1)$ nên chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng $y=x$ và $y=-2x+3$ có hệ số $a\ne a'$ $(1\ne -2)$ nên chúng cắt nhau.

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số $m$ để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)$.

+) $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$

+) $d$ cắt $d'$$\Leftrightarrow a \ne a'$.

+) $d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$.

Dạng 2:  Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp:

+) Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.

Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau

+) Ta có$y = ax + b$ với $a \ne 0$, $b \ne 0$ là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm $A\left( {0;b} \right)$, cắt trục hoành tại điểm $B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)$.

+) Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $y = ax + b$ khi và chỉ khi ${y_0} = a{x_0} + b$.

Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d$ luôn đi qua với mọi tham số $m$

Phương pháp:

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $M\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.

Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.

Từ đó để phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ luôn đúng thì $a = b = 0$

Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.

Khi đó $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm.